Problemas com Dados na OBMEP: A Regra das Faces Opostas

Questões envolvendo dados aparecem com frequência na 2ª fase da OBMEP — e quem não conhece a propriedade central sai fazendo contas à mão, tentando somar face por face. Quem conhece resolve em segundos.

A propriedade é simples: em um dado padrão, faces opostas sempre somam 7. Os três pares são 1+6, 2+5 e 3+4. Esse único fato, bem explorado, é suficiente para resolver questões de vários níveis.

A Propriedade Central dos Dados

Um dado cúbico padrão tem faces numeradas de 1 a 6. As faces são organizadas de forma que cada par oposto soma 7:

Isso significa que a soma de todas as 6 faces é sempre 1+2+3+4+5+6 = 21. Mas o que importa para essas questões não é a soma total — é a soma das faces que ficam visíveis em uma determinada configuração.

Lendo a Configuração: O Que Está Visível e O Que Está Escondido

Quando vários dados são dispostos lado a lado (em fileira, em L, ou em outra configuração), algumas faces ficam ocultas:

• Face inferior: sempre oculta (encostada na mesa)
• Faces de contato: quando dois dados se tocam, as duas faces em contato ficam ocultas

As demais faces ficam visíveis. A tarefa é calcular a soma dessas faces visíveis.

A estratégia:

Para cada dado, classifique as 6 faces em dois grupos:

1. Pares opostos onde ambas as faces estão visíveis: a soma do par é 7, garantida.
2. Faces visíveis sem o seu par: precisam ser somadas individualmente.

Se um dado tem todas as 3 faces de um par oposto visíveis (as duas faces do par expostas), você soma 7 por par. Se uma face de um par está oculta (embaixo ou em contato com outro dado), sua oposta fica visível — mas você precisa saber qual é essa face.

Exemplo: Calculando a Soma das Faces Visíveis

Considere a configuração do exemplo resolvido no vídeo:

Para um conjunto de dados empilhados em fileira, a configuração produzia:

• 6 pares opostos visíveis: 6 × 7 = 42
• 1 face do topo sem seu par visível: valor 6

Total: 42 + 6 = 48

A leitura rápida de uma configuração assim:

1. Identifique quantos pares opostos estão completamente visíveis
2. Some 7 para cada par
3. Identifique as faces visíveis que não têm seu par visível — some-as individualmente

Minimizando a Soma

Questões da OBMEP frequentemente pedem: qual é a menor soma possível?

Para minimizar a soma, você quer que os números pequenos apareçam nas faces que ficam visíveis individualmente (as que não têm o par visível).

Exemplo com 2 dados lado a lado (configuração da questão de OBMEP 2024):

• Cada dado tem certas faces ocultas (fundo + face de contato com o outro dado)
• Para cada dado, as faces ocultas não são um par oposto — então você tem algum controle sobre qual face fica visível no topo/lateral

Para minimizar:

• Coloque 1 e 2 nas faces visíveis individuais de cada dado (as que não têm o par visível)
• Os pares opostos visíveis contribuem com 7 cada, independentemente da orientação

No caso com 2 dados na configuração da questão:

• 2 pares opostos visíveis por dado: 2 × 7 = 14 por dado, total 28… mas a geometria exata determina quantos pares ficam visíveis
• Com os menores possíveis nas posições livres: 1 + 2 + 1 + 2 = 6
• Soma mínima: 7 + 7 + 1 + 2 + 1 + 2 = 20

Verificando Se Uma Soma Específica É Possível

Questões mais difíceis pedem: é possível que a soma das faces visíveis seja X? Se sim, quais são as possibilidades para a face do topo?

A estratégia é a seguinte:

Exemplo da questão OBMEP 2024 (Nível 2 e 3, Questão 5):

Com 7 dados empilhados e a configuração específica da questão:

• Contribuição garantida dos pares visíveis: 7 × 7 = 49
• Soma desejada: 88
• Diferença: 88 − 49 = 39

Agora: a soma das faces livres precisa ser 39. O máximo possível para as 7 faces livres, respeitando as restrições do dado (não repetir faces opostas no mesmo dado):

• 5 faces podem valer 6, 1 face pode valer 5 e 1 face pode valer 5 → máximo: 5×6 + 5 + 5 = 40

40 > 39, então é possível. As possibilidades para a face do topo:

• Se a face do topo é 6: a soma restante (39 − 6 = 33) é atingível com as outras 6 faces
• Se a face do topo é 5: a soma restante (39 − 5 = 34) também é atingível
• Se a face do topo é 4 ou menos: o máximo restante cai e não é mais suficiente para atingir 39

Resposta: a face do topo pode ser 5 ou 6. Não há outras possibilidades.

Por Que Esse Tipo de Questão Aparece na OBMEP

Questões de dados são elegantes porque combinam geometria (orientação do dado), aritmética (contas com 1 a 6) e raciocínio combinatório (contagem de possibilidades). Mais importante: resolvê-las corretamente requer dominar a diferença entre o que está fixo (os pares de 7) e o que pode ser escolhido (as faces individuais).

Candidatos que tentam resolver somando todas as faces manualmente — sem usar a propriedade dos pares opostos — perdem tempo e erram mais. Candidatos que dominam a propriedade chegam direto na estrutura do problema.

A questão foi cobrada na 2ª fase da OBMEP 2024 em Nível 2 e em Nível 3 com a mesma configuração base, confirmando que é um padrão que vale dominar antes da prova.

Conclusão

Três ideias dominam as questões de dados da OBMEP:

1. Faces opostas somam 7 — isso é fixo e não depende de orientação
2. Pares visíveis contribuem com 7 cada — conte quantos pares estão completamente expostos
3. Faces livres são controladas pela orientação — coloque os menores ou maiores valores conforme o problema pede

Pratique identificando rapidamente quais faces ficam ocultas em diferentes configurações (fileira, L, empilhado). A velocidade de leitura da configuração é o que separa resoluções rápidas das lentas.

Fonte: RESOLUÇÃO 2ª FASE OBMEP 2024 — NÍVEL 3 (QUESTÃO 5) e RESOLUÇÃO 2ª FASE OBMEP 2024 — NÍVEL 2 (QUESTÃO 5) — Canal Só o mi (@soomi_hokage)