Frações Contínuas na OBMEP: Decomposição de Frações em Somas
Você tem a fração 10/7 e a instrução: expresse como a + 1/(b + 1/c), onde a, b e c são inteiros positivos.
É um tipo de questão que mistura álgebra, aritmética e raciocínio sobre restrições — exatamente o estilo OBMEP Nível 3. Quem tenta resolver por força bruta, testando combinações de inteiros, demora. Quem reconhece o padrão resolve com um algoritmo direto em três passos.
O padrão tem nome: frações contínuas.
O Que São Frações Contínuas
Uma fração contínua é uma expressão da forma:
$$a_0 + \cfrac{1}{a_1 + \cfrac{1}{a_2 + \cfrac{1}{a_3 + \cdots}}}$$
onde cada $a_i$ é um inteiro positivo (exceto possivelmente $a_0$, que pode ser zero ou negativo se a fração for menor que 1).
Para frações positivas, o processo de construção é simples:
- Extraia a parte inteira do número
- O que sobra (a parte fracionária) é invertido para produzir o próximo nível
Esse processo é basicamente o algoritmo de Euclides aplicado a frações, e garante que toda fração racional tem uma representação única como fração contínua finita.
O Algoritmo: Três Passos para 10/7
Problema: encontre inteiros positivos a, b, c tais que:
$$\frac{10}{7} = a + \cfrac{1}{b + \cfrac{1}{c}}$$
Passo 1: extraia a parte inteira de 10/7
10/7 está entre 1 e 2 (pois 7/7 = 1 e 14/7 = 2). A parte inteira é a = 1.
Subtraindo: 10/7 − 1 = 10/7 − 7/7 = 3/7
Então: 10/7 = 1 + 3/7
Passo 2: inverta a parte fracionária
Temos que 3/7 = 1/(b + 1/c). Invertendo: b + 1/c = 7/3.
7/3 está entre 2 e 3 (pois 6/3 = 2 e 9/3 = 3). A parte inteira é b = 2.
Subtraindo: 7/3 − 2 = 7/3 − 6/3 = 1/3
Então: 7/3 = 2 + 1/3
Passo 3: identifique o último nível
Temos que 1/c = 1/3. Portanto c = 3.
Resposta: a = 1, b = 2, c = 3.
Verificação:
$$1 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{3}} = 1 + \cfrac{1}{\frac{7}{3}} = 1 + \frac{3}{7} = \frac{10}{7} \checkmark$$
Por Que Há Uma Única Solução
A questão especifica que a, b, c são inteiros positivos (maiores que zero). Essa restrição garante unicidade.
No Passo 1: 10/7 = 1,428… Como a deve ser inteiro positivo e 10/7 < 2, a única opção é a = 1. Se a = 2, a expressão já passaria de 10/7.
No Passo 2: após fixar a = 1, você encontra b + 1/c = 7/3 = 2,333… Como b deve ser inteiro positivo e 1/c é uma fração entre 0 e 1 (c ≥ 1 implica 1/c ≤ 1), obrigatoriamente b = 2.
No Passo 3: com a = 1 e b = 2, a equação se reduz a 1/c = 1/3, o que força c = 3 sem ambiguidade.
Analisando a Questão como um Problema de Álgebra
O mesmo problema pode ser resolvido por manipulação algébrica direta, sem nomear “frações contínuas”. É assim que aparece na prova — sem o nome técnico — e é como o apresentador do vídeo resolve:
Partindo de:
$$\frac{10}{7} = a + \frac{1}{b + \frac{1}{c}}$$
Passo 1: como a, b, c são inteiros positivos, o termo $\frac{1}{b + 1/c}$ está estritamente entre 0 e 1. Portanto a é exatamente a parte inteira de 10/7.
$$10 \div 7 = 1 \text{ (quociente) com resto } 3$$
Logo a = 1, e a equação vira:
$$\frac{3}{7} = \frac{1}{b + \frac{1}{c}}$$
Passo 2: invertendo os dois lados:
$$b + \frac{1}{c} = \frac{7}{3}$$
Como b é inteiro positivo e 1/c ∈ (0, 1], b é a parte inteira de 7/3:
$$7 \div 3 = 2 \text{ (quociente) com resto } 1$$
Logo b = 2, e a equação vira:
$$\frac{1}{c} = \frac{7}{3} - 2 = \frac{1}{3}$$
Passo 3: c = 3.
A Conexão com o Algoritmo de Euclides
O algoritmo de frações contínuas e o algoritmo de Euclides são a mesma coisa vistas de ângulos diferentes.
Algoritmo de Euclides para MDC(10, 7):
- 10 = 1 × 7 + 3 (quotiente 1, resto 3)
- 7 = 2 × 3 + 1 (quotiente 2, resto 1)
- 3 = 3 × 1 + 0 (quotiente 3, resto 0)
Os quocientes (1, 2, 3) são exatamente a = 1, b = 2, c = 3 — os inteiros da fração contínua.
Isso não é coincidência: é uma propriedade fundamental das frações contínuas. Para qualquer fração p/q, os inteiros da fração contínua são os quocientes do algoritmo de Euclides aplicado ao par (p, q).
Tipos de Questões que Usam Esse Conceito
Na OBMEP, frações contínuas aparecem em três formatos:
| Formato | O que pede |
|---|---|
| Decomposição direta | Encontre a, b, c inteiros positivos tais que p/q = a + 1/(b + 1/c) |
| Verificação de existência | Mostre que toda fração racional tem uma representação finita |
| Estimação | Use a fração contínua para encontrar a melhor aproximação racional de um irracional |
O tipo mais comum na OBMEP é o primeiro — e o algoritmo de três passos resolve todos eles de forma sistemática.
Conclusão
Questões do tipo “expresse esta fração com inteiros positivos aninhados” têm uma estrutura oculta que simplifica tudo: a fração contínua, que nada mais é que o algoritmo de Euclides disfarçado de álgebra.
O processo:
- Extraia a parte inteira → esse é o primeiro inteiro
- Inverta a fração restante → continue extraindo partes inteiras
- Repita até o resultado ser exato
A restrição de inteiros positivos garante que cada passo tem uma única escolha. O algoritmo não requer tentativa e erro — é determinístico do começo ao fim.
Quem entende essa estrutura resolve a questão em dois minutos. Quem tenta testar combinações pode não encontrar a resposta mesmo com tempo suficiente.
Fonte: [OBMEP] Questão boa de álgebra pra fritar cérebro de Hokage — Canal Só o mi (@soomi_hokage)