Geometria para OBMEP: Revisão Completa de Áreas a Circunferências

Geometria responde por uma fatia enorme da OBMEP em todos os níveis. A boa notícia: 90% do que cai na prova se reduz a um conjunto pequeno de conceitos que você pode dominar em uma sentada. A má notícia: a maioria dos candidatos estuda fórmulas — e a prova testa raciocínio.

Este artigo cobre os tópicos que mais aparecem na OBMEP, do jeito que eles realmente funcionam: sem decoreba desnecessária.

Áreas e Perímetros: A Única Fórmula que Você Precisa

Esqueça listas de fórmulas. Tudo começa com uma:

Área = base × altura

Essa é a fórmula do retângulo. A partir dela, você deriva todo o resto:

• Paralelogramo: base × altura (a altura é a distância perpendicular entre as bases, não o lado inclinado)
• Triângulo: (base × altura) / 2 — porque todo triângulo é metade de um retângulo
• Losango: divida em dois triângulos e some as áreas
• Hexágono: divida em seis triângulos a partir de um vértice central e multiplique

O perímetro é ainda mais simples: some todos os lados. Sem fórmula especial.

A Armadilha das Questões de Geometria

A prova não pergunta diretamente “qual é a área desse triângulo?”. Ela mistura figuras, cria triângulos sobrepostos e pede relações entre áreas. O que diferencia quem resolve de quem trava:

Triângulos com mesma base e mesma altura têm a mesma área.

Se dois triângulos compartilham a mesma base e os vértices opostos estão sobre a mesma reta paralela à base, as alturas são iguais — portanto as áreas são iguais. Isso parece óbvio escrito assim, mas na prova, quando os triângulos estão rotacionados ou sobrepostos, a maioria dos candidatos não enxerga.

Ângulos: As Três Propriedades que Resolvem Tudo

Uma volta completa tem 360°. Metade tem 180°. Um quarto tem 90°. Essa escala vem direto da divisão do círculo em partes iguais.

As propriedades que aparecem com mais frequência:

1. Ângulos opostos pelo vértice são iguais

Quando duas retas se cruzam, os ângulos que “se olham” pelo vértice são sempre iguais. Sem exceção.

2. Retas paralelas cortadas por uma transversal

Quando uma transversal corta duas retas paralelas:

• Os ângulos alternos internos são iguais (ficam em lados opostos da transversal, entre as paralelas)
• Os ângulos correspondentes são iguais (ficam do mesmo lado, em posições simétricas)

Isso gera quatro pares de ângulos iguais de uma só vez. Na prova: procure retas paralelas — quando achar, você encontrou ângulos iguais.

3. Soma dos ângulos internos de um triângulo = 180°

E uma consequência direta: o ângulo externo de um triângulo é igual à soma dos dois ângulos internos não adjacentes.

Para polígonos com mais lados, escolha um vértice e trace diagonais até os outros — você forma triângulos. Conte os triângulos, multiplique por 180°. Hexágono → 4 triângulos → 720°. Não precisa decorar: a lógica é a mesma para qualquer polígono.

Triângulos Equiláteros e Isósceles

Dois casos especiais que aparecem o tempo todo:

• Triângulo equilátero: três lados iguais → três ângulos iguais → cada ângulo vale 60°
• Triângulo isósceles: dois lados iguais → dois ângulos iguais (os ângulos da base, não o ângulo entre os lados iguais)

O que muita gente não percebe: a relação funciona nos dois sentidos. Se você sabe que dois ângulos são iguais, os lados opostos a eles também são iguais. A prova costuma dar os ângulos e pedir os lados — ou vice-versa.

Semelhança de Triângulos

Dois triângulos são semelhantes quando têm os mesmos ângulos. Consequência automática: seus lados são proporcionais.

Para provar semelhança, basta encontrar dois ângulos iguais — o terceiro será automaticamente igual (porque a soma sempre dá 180°).

Quando você prova que dois triângulos são semelhantes:

1. Identifique os lados correspondentes (opostos aos mesmos ângulos)
2. Calcule a razão de semelhança: divida um lado pelo lado correspondente no outro triângulo
3. Aplique essa razão a todos os outros lados

A relação funciona também no sentido inverso: se os lados são proporcionais, os ângulos são iguais.

Congruência de Triângulos

Triângulos congruentes são um caso especial de semelhança onde a razão é 1 — ou seja, os triângulos são idênticos. Todos os lados iguais, todos os ângulos iguais.

Na prova, a congruência aparece quando você precisa descobrir um lado desconhecido: prove que dois triângulos são congruentes e o lado desconhecido de um é igual ao lado conhecido do outro.

Razão entre Áreas e Razão de Semelhança

Esta propriedade é exigida principalmente no Nível 3 e é decisiva para a medalha de ouro:

A razão entre as áreas de dois triângulos semelhantes é o quadrado da razão de semelhança.

Se a razão de semelhança entre dois triângulos é 2 (um lado é o dobro do outro), a área do maior é 4 vezes a área do menor. Se a razão for 3, a área é 9 vezes maior.

A justificativa é direta: a fórmula da área usa base × altura. Quando você multiplica ambas as dimensões por um fator k, a área é multiplicada por k².

$$\frac{\text{Área}_1}{\text{Área}_2} = \left(\frac{\text{razão de semelhança}}{1}\right)^2$$

Circunferências: De Onde Vem o π e Como Usar

O número π não é uma convenção arbitrária. Ele nasce de uma observação:

Em qualquer circunferência, a razão entre o comprimento da circunferência e seu diâmetro é sempre a mesma: ≈ 3,14159…

Esse valor fixo recebeu o nome de π. Portanto:

$$C = \pi \cdot d = 2\pi r$$

onde C é o comprimento da circunferência, d é o diâmetro e r é o raio.

A fórmula da área do círculo é:

$$A = \pi r^2$$

Reta Tangente e Ângulo de 90°

Quando uma reta toca a circunferência em exatamente um ponto (ponto de tangência), o raio traçado até esse ponto sempre forma 90° com a tangente.

Isso é mais útil do que parece. Se um ponto externo lança duas tangentes a uma circunferência:

• Os dois segmentos tangentes (do ponto externo ao ponto de tangência) têm comprimentos iguais
• Os dois triângulos formados são congruentes

Demonstração rápida: cada triângulo tem o raio (iguais), a hipotenusa (em comum) e o ângulo de 90°. Pelo teorema de Pitágoras, o terceiro lado também é igual.

Ângulo Central e Ângulo Inscrito

Conceito importante para o Nível 3:

O ângulo inscrito (com vértice na circunferência) é sempre metade do ângulo central (com vértice no centro) quando ambos interceptam o mesmo arco.

Caso especial que aparece muito: quando um lado do triângulo inscrito passa pelo centro da circunferência (é um diâmetro), o ângulo oposto é sempre 90°. Triângulo inscrito em semicírculo → ângulo reto.

Resumo: O Que Anotar

Com esses conceitos dominados, a geometria da OBMEP deixa de ser um bicho-de-sete-cabeças. Pegue provas anteriores, filtre as questões de geometria e aplique cada um desses princípios — você vai perceber que eles cobrem quase tudo.

Baseado no vídeo REVISÃO DE GEOMETRIA PARA OBMEP 2024 - COMPLETO do canal Só o mi.