Resolução 2ª Fase OBMEP 2024 Nível 3: Análise e Estratégias

A 2ª fase da OBMEP 2024 Nível 3 é a prova mais avançada da OBMEP para estudantes do Ensino Médio. Aplicada em outubro de 2024, ela exige raciocínio matemático rigoroso, domínio de múltiplas técnicas e a capacidade de integrar conceitos de diferentes áreas numa única solução.

Este artigo analisa a prova de 2024 por tema e dificuldade e apresenta as estratégias essenciais para quem quer prestar — e se destacar — no Nível 3 em 2026. As resoluções completas foram publicadas pelo canal Só o mi em vídeos individuais por questão.

Perfil da prova Nível 3

O Nível 3 é destinado a alunos do Ensino Médio (1º ao 3º ano). A prova tem 6 questões discursivas, com 3 horas de duração. É a única prova da OBMEP que pode exigir conteúdo introduzido no EM — trigonometria, análise de funções e conceitos de geometria analítica aparecem ocasionalmente, embora as questões de álgebra e combinatória estejam acessíveis desde o 9º ano.

O que torna o Nível 3 diferente dos outros:

• Resolução em múltiplas etapas — cada questão costuma ter subitens (a, b, c), onde o item (a) estabelece um resultado que é usado no (b) e (c)
• Prova por contradição e contraposição — muito mais comum do que nos níveis menores
• Geometria com construções auxiliares — adicionar retas, circunferências e pontos ao desenho original é frequentemente necessário
• Álgebra combinatória — problemas que misturam contagem com manipulação algébrica

Distribuição de temas na OBMEP 2024 Nível 3

Análise por tipo de problema

Aritmética e Teoria dos Números

No Nível 3, a teoria dos números é um dos temas mais ricos. Os problemas costumam exigir:

• Equações diofantinas — encontrar todos os pares ou triplas de inteiros que satisfazem uma equação
• Análise de fatorações — provar que um número tem certas propriedades usando sua fatoração em primos
• Sequências com propriedades divisíveis — sequências de inteiros onde cada termo tem relação de divisibilidade com os anteriores

Como abordar:

1. Trabalhe módulo primos pequenos — testar o problema mod 2, 3, 4, 5, 7 elimina a maioria dos candidatos impossíveis com rapidez
2. Fatore maximamente — escreva n = p₁^a₁ · p₂^a₂ · … e use as propriedades dos expoentes
3. Para equações diofantinas, reescreva como (x + a)(y + b) = c e analise os divisores de c
4. Infinite descent — para provar que uma equação não tem solução inteira positiva, assuma a solução de menor soma e derive uma solução ainda menor — contradição

Combinatória

A combinatória do Nível 3 vai além da contagem simples. Os problemas tipicamente envolvem:

• Teoria de grafos elementar — coloração de vértices/arestas, caminhos, componentes conexas
• Princípio do extremo — considerar o elemento “extremo” (máximo, mínimo, mais distante, etc.) para encontrar uma contradição
• Indução matemática — provar que uma propriedade vale para todos os n, construindo o passo indutivo explicitamente
• Bijeções — provar que dois conjuntos têm o mesmo tamanho exibindo uma correspondência biunívoca

Como abordar:

1. Grafos invisíveis — muitos problemas de combinatória têm estrutura de grafo mesmo sem citar isso. Represente os objetos como vértices e as relações como arestas
2. Construa por indução — se a resposta é um número n, tente construir a configuração para n = 1, 2, 3, identifique o padrão e prove o passo geral
3. Conte de dois jeitos — para provar igualdades combinatórias (|A| = |B|), às vezes é mais fácil mostrar que ambos contam o mesmo conjunto de pares
4. Para colorações, o número mínimo de cores costuma ser determinado por invariantes locais (ex.: no tabuleiro de xadrez, alternância de cores)

Geometria

A geometria do Nível 3 exige domínio de:

• Círculos inscrito e circunscrito — propriedades de ângulos inscritos, arcos e tangentes
• Potência de um ponto — relação PA · PB = PC · PD para pontos sobre secantes de uma circunferência
• Semelhança e homotetia — transformações que preservam ângulos mas escalam distâncias

Como abordar:

1. Adicione a circunferência circunscrita ao problema — mesmo que ela não apareça no enunciado, a circunferência circunscrita de um triângulo frequentemente revela ângulos iguais escondidos
2. Ângulos inscritos — um ângulo inscrito na circunferência é metade do ângulo central que subtende o mesmo arco. Esse resultado resolve dezenas de problemas
3. Procure pontos notáveis — ortocentro, incentro, circuncentro e baricentro têm propriedades que aparecem em problemas difíceis
4. Para otimização geométrica (encontrar o ponto que minimiza uma soma de distâncias), a desigualdade triangular e a reflexão são as ferramentas centrais

Álgebra e Desigualdades

As questões de álgebra no Nível 3 frequentemente envolvem:

• Desigualdades clássicas — AM-GM (média aritmética ≥ média geométrica), Cauchy-Schwarz, e suas aplicações
• Otimização de funções — encontrar o máximo ou mínimo de uma expressão sobre um domínio com restrições
• Polinômios — divisão, fatoração e propriedades de raízes

Como abordar:

1. Domine AM-GM — a desigualdade a + b ≥ 2√(ab) (para a, b ≥ 0) resolve a maioria das questões de otimização com dois ou mais termos
2. Cauchy-Schwarz para desigualdades com somas de frações: (a₁² + a₂² + …)(b₁² + b₂²+ …) ≥ (a₁b₁ + a₂b₂ + …)²
3. Verifique a igualdade — em otimização, a resposta se obtém quando a igualdade na desigualdade ocorre. Identifique a condição de igualdade e resolva
4. Para polinômios, use o Teorema Fundamental da Álgebra: um polinômio de grau n tem exatamente n raízes complexas (contadas com multiplicidade)

Estrutura de subitens e como aproveitá-la

Uma característica importante do Nível 3 é que as questões frequentemente têm subitens encadeados:

(a) Mostre que [resultado auxiliar].
(b) Usando (a), prove que [resultado principal].
(c) Generalize para [caso mais difícil].

Essa estrutura é uma dica pedagógica do problema: o item (a) sempre ensina a técnica principal que será usada nos demais. Se você não consegue resolver o item (b), volte para o (a) e entenda profundamente o resultado.

Pontuação em subitens:

• O item (a) costuma valer 2–3 pontos dos 10
• O item (b), 4–5 pontos
• O item (c), os pontos restantes

Estratégia: Se você resolver apenas (a) e (b) de 4 questões, pode ter 28–32 pontos — o que costuma ser suficiente para mencão honrosa.

Como os corretores pontuam no Nível 3

Estratégia de prova para quem quer medalha

Para medalhistas de bronze e prata, o corte costuma estar entre 25 e 50 pontos. Para ouro, acima de 50. A estratégia:

Para quem quer menção honrosa ou bronze:

• Resolva completamente as questões 1 e 2
• Resolva os subitens (a) de todas as demais questões
• Tente o subitem (b) da questão que parecer mais acessível

Para quem quer prata:

• Resolva completamente as questões 1, 2 e 3
• Resolva subitens (a) e (b) das questões 4, 5 e 6

Para quem quer ouro:

• Resolva completamente ao menos 5 das 6 questões
• Na questão mais difícil, resolva pelo menos (a) e (b) completamente

Como usar as resoluções em vídeo

O canal Só o mi publicou a resolução completa da 2ª fase OBMEP 2024 Nível 3 em vídeos individuais por questão. O uso mais eficaz desses vídeos:

1. Resolva a prova inteira com tempo (3 horas, sem consultas) antes de assistir qualquer vídeo
2. Corrija questão por questão — só assista o vídeo da questão que você não conseguiu resolver, não antes
3. Para questões que você resolveu, compare sua abordagem com a dos vídeos — soluções diferentes podem ensinar técnicas complementares
4. Reescreva soluções que você errou, sem consultar o vídeo, depois de entender a ideia

Resumo: as ferramentas essenciais do Nível 3

Vídeos de resolução

As soluções completas da 2ª fase OBMEP 2024 Nível 3 foram publicadas pelo canal Só o mi:

• Questão 1 — Resolução completa
• Questão 2 — Resolução completa
• Questão 3 — Resolução completa
• Questão 4 — Resolução completa
• Questão 5 — Resolução completa
• Questão 6 — Resolução completa