OBMEP 2025: Resolução da 2ª Fase Nível 1 com Critérios de Correção
A 2ª fase da OBMEP 2025 Nível 1 foi aplicada para alunos do 6º e 7º ano do Ensino Fundamental. Como toda prova discursiva da OBMEP, ela não exige apenas a resposta correta — exige justificativa clara, raciocínio organizado e demonstração de cada passo.
Este artigo apresenta a resolução das questões 1, 3 e 6 com seus critérios de correção oficiais. Se você vai prestar a OBMEP nos próximos anos, entender como a prova é corrigida é tão importante quanto saber resolver os problemas.
Estrutura da prova
O Nível 1 é destinado a alunos do 6º e 7º ano. A 2ª fase tem 6 questões discursivas com 3 horas de duração. Cada questão vale 20 pontos, divididos em itens de dificuldade crescente (itens a, b e c, valendo 4, 6 e 10 pontos respectivamente).
Os temas cobrados na edição de 2025 foram:
| Questão | Tema principal |
|---|---|
| Q1 | Preenchimento de círculos com somas — prova por exaustão |
| Q2 | Geometria e combinatória |
| Q3 | Raciocínio lógico — dedução com figuras e cores |
| Q4 | Aritmética |
| Q5 | Contagem e padrões |
| Q6 | Tabuleiro numérico — divisibilidade |
Questão 1 — Círculos com somas: provando impossibilidade
A questão 1 envolve um diagrama com círculos interligados em formato de cruz (uma horizontal e uma vertical, com um círculo central comum). Números devem ser escritos nos círculos de modo que a soma de cada linha respeite uma condição específica.
Os itens a e b pedem que o estudante preencha configurações mais simples do diagrama. O item c, mais difícil, pede a prova de que uma configuração não pode ser preenchida.
Como resolver o item c
O argumento central é uma prova por exaustão:
Identifique as restrições da soma horizontal principal. A análise das somas possíveis mostra que o círculo central (o “pivô”) só pode assumir os valores 1, 2 ou 3.
Teste cada caso sistematicamente:
- Caso 1 (central = 1): com o centro fixado, os demais círculos da linha horizontal ficam determinados. Mas os valores restantes não preenchem a linha vertical sem contradição.
- Caso 2 (central = 2): mesma análise. Os números restantes não completam o diagrama.
- Caso 3 (central = 3): idem. Contradição inevitável.
Conclusão: como todos os três casos falham, é impossível preencher o diagrama conforme as condições exigidas.
O que o examinador pontua no item c
| Critério | Pontos |
|---|---|
| Identificou que o centro só pode ser 1, 2 ou 3 | 3 |
| Estruturou a prova testando os 3 casos | 2 |
| Demonstrou contradição em cada caso | 4 |
| Concluiu a impossibilidade | 1 |
| Total | 10 |
Este tipo de prova — “testar todos os casos possíveis e mostrar que nenhum funciona” — é clássico na OBMEP. Treinar provas por exaustão é essencial para a 2ª fase.
Questão 3 — Lógica com figuras e cores: quem é quem?
A questão 3 apresenta um problema de raciocínio lógico dedutivo. Três personagens — Ana, Bia e Carla — cada uma tem uma figura (estrela, círculo ou triângulo) com uma cor (preto, cinza ou branco). A partir de pistas lógicas, o estudante deve deduzir a figura e cor de cada uma.
A cadeia de deduções
Item a (4 pts): Identificar a figura de Ana.
- A análise das pistas iniciais leva à conclusão de que Ana tem uma estrela.
- A cor da estrela de Ana ainda não é determinável neste item — são três cores possíveis: preto, cinza ou branco.
Item b (6 pts): Restringir as possibilidades de Carla.
- A análise mostra que Carla não tem círculo e não é branca.
- Isso reduz as possibilidades de Carla a: triângulo preto, triângulo cinza, estrela preta ou estrela cinza.
Item c (10 pts): Determinar tudo.
A resolução completa parte das possibilidades de Bia:
- Bia tem figura cinza (círculo ou estrela cinza) — deduzido das pistas restantes.
- Como Ana já tem uma estrela, Bia não pode ter estrela. Logo, Bia = círculo cinza.
- Como Bia é cinza, Carla não pode ser cinza. Das possibilidades de Carla (triângulo preto/cinza ou estrela preta/cinza), sobra: Carla = triângulo preto.
- Por eliminação: Ana = estrela branca.
Critérios de correção do item c
| Critério | Pontos |
|---|---|
| Concluiu as possibilidades de Bia (cinza: círculo ou estrela) | 2 |
| Reduziu as possibilidades de Carla com a premissa de Ana | 2 |
| Concluiu que Bia é círculo cinza | 2 |
| Concluiu que Carla é triângulo preto | 2 |
| Concluiu que Ana é estrela branca | 2 |
| Total | 10 |
A lição aqui é clara: resolva de forma sequencial e documentada. Escreva cada dedução como uma conclusão explícita, não apenas o resultado final.
Questão 6 — Tabuleiro 3×20: divisibilidade e padrões numéricos
Esta foi provavelmente a questão mais rica matematicamente do Nível 1 de 2025. O enunciado:
Um tabuleiro 3×20 é preenchido com os números de 1 a 60. A primeira linha tem os números 1 a 20 (da esquerda para a direita), a segunda tem 21 a 40, e a terceira tem 41 a 60. São mostrados pedaços desse tabuleiro com alguns números ocultos.
Item a — Encontrar x
O enunciado mostra um pedaço do tabuleiro com o número 17 visível e x em outra célula.
A regra fundamental do tabuleiro: cada linha abaixo soma 20 ao número da linha superior, na mesma coluna. Ou seja, se um número está na linha 1 e coluna k, então:
- Linha 2, coluna k = número + 20
- Linha 3, coluna k = número + 40
Usando a coluna do 17: com 17 na linha 1 e analisando a posição de x no pedaço mostrado, conclui-se que x = 55.
| Critério | Pontos |
|---|---|
| Identificou que cada linha adiciona 20 | 2 |
| Usou a coluna do 17 para encontrar x = 55 | 2 |
| Total | 4 |
Item b — O divisor comum d
O pedaço do tabuleiro mostra três números y, z e w em posições específicas. A análise das posições revela:
- z = y + 21
- w = y + 35
A pergunta: qual é o maior divisor natural d > 1 que divide os três simultaneamente?
Raciocínio: se d divide y, z e w, então d divide as diferenças:
- z − y = 21
- w − y = 35
Portanto, d divide MDC(21, 35). Fatorando:
- 21 = 3 × 7
- 35 = 5 × 7
- MDC(21, 35) = 7
Como d > 1 e d | 7 (primo), concluímos d = 7.
| Critério | Pontos |
|---|---|
| Identificou que z = y + 21 | 1 |
| Identificou que w = y + 35 | 1 |
| Mostrou por fatoração que d = 7 | 4 |
| Total | 6 |
Item c — Os valores possíveis de y
Sabendo que d = 7 e y está na primeira linha do tabuleiro (logo, 1 ≤ y ≤ 20), y deve ser múltiplo de 7 nesse intervalo.
Os múltiplos de 7 entre 1 e 20 são: 7 e 14.
Verificando:
- y = 7: z = 28, w = 42. MDC(7, 28, 42) = 7 ✓
- y = 14: z = 35, w = 49. MDC(14, 35, 49) = 7 ✓
Portanto, y pode ser 7 ou 14.
| Critério | Pontos |
|---|---|
| Concluiu que y é múltiplo de 7, com 1 ≤ y ≤ 20 | 3 |
| Analisou y = 7 → z = 28, w = 42 | 3 |
| Analisou y = 14 → z = 35, w = 49 | 3 |
| Concluiu os dois valores possíveis | 1 |
| Total | 10 |
Questões 2, 4 e 5
As questões 2, 4 e 5 do Nível 1 também foram resolvidas pelo canal Só o mi. Acesse os vídeos para a resolução completa:
O que aprender com a prova de 2025
Três lições centrais da 2ª fase 2025 Nível 1:
Prova por exaustão é um método legítimo e valorizado. Se há poucos casos possíveis (Q1 tinha apenas 3), testar todos e mostrar contradição é uma prova completa e aceita.
Em lógica dedutiva, escreva cada passo. O examinador distribui pontos por cada dedução intermediária (Q3), não só pelo resultado final.
Divisibilidade vem de diferenças. Se d divide vários números, d divide as diferenças entre eles (Q6). Isso é mais poderoso do que testar divisores diretamente.
Vídeos originais: canal Só o mi no YouTube — Lucas, Leonardo e Thaís Nóbrega, todos medalhistas da OBMEP e participantes do Programa de Iniciação Científica da OBMEP.