OBMEP 2025: Resolução da 2ª Fase Nível 2 — Geometria, Peças e Tabuleiro
A 2ª fase da OBMEP 2025 Nível 2 é destinada a alunos do 8º e 9º ano do Ensino Fundamental. É um nível de transição: os problemas exigem mais abstração do que o Nível 1, mas ainda se baseiam em conceitos do fundamental — aritmética, geometria básica, raciocínio lógico.
Este artigo resolve as questões 2, 3 e 5 com seus critérios de correção oficiais, publicados pelo canal Só o mi. Conhecer esses critérios muda a forma como você escreve suas soluções.
Estrutura da prova Nível 2
O Nível 2 tem 6 questões discursivas, 3 horas de duração, valendo 20 pontos cada. A distribuição dos itens:
| Questão | Tema |
|---|---|
| Q1 | Raciocínio lógico — figuras e cores (Ana, Bia e Carla) |
| Q2 | Tabuleiro 3×20 — padrões numéricos e divisibilidade |
| Q3 | Geometria — tiras, recortes, perímetro e área |
| Q4 | (Resolução disponível no canal) |
| Q5 | Encaixe de peças — argumento de coloração |
| Q6 | (Resolução disponível no canal) |
Questão 2 — Tabuleiro 3×20: padrões e divisibilidade
O enunciado:
Um tabuleiro 3×20 é preenchido com os números de 1 a 60. A primeira linha tem os números 1 a 20, a segunda tem 21 a 40, e a terceira tem 41 a 60 (sempre da esquerda para a direita, em ordem crescente). Pedaços desse tabuleiro são mostrados com alguns números ocultos.
Como ler o tabuleiro
O tabuleiro tem uma propriedade fundamental: mover uma linha para baixo adiciona exatamente 20 ao número, na mesma coluna.
Formalmente, o número na linha r e coluna c é:
$$\text{número}(r, c) = (r - 1) \times 20 + c$$
Para r = 1, 2 ou 3 e c = 1, …, 20.
Item a — Encontrar x (4 pts)
O pedaço mostrado inclui o número 17 (linha 1). Usando a propriedade de que cada linha abaixo soma 20:
- Linha 2, mesma coluna: 17 + 20 = 37
- Linha 3, mesma coluna: 17 + 40 = 57
O valor de x depende da posição exata no pedaço mostrado. Usando a coluna do 17 como referência, conclui-se que x = 55.
(55 = 41 + 14, portanto está na linha 3, coluna 15 — mesma coluna de 15 na linha 1 e 35 na linha 2.)
| Critério | Pontos |
|---|---|
| Identificou que cada linha abaixo soma 20 | 2 |
| Usou a coluna do 17 para encontrar x = 55 | 2 |
Item b — O divisor comum d (6 pts)
Três números y, z e w aparecem em posições específicas do pedaço mostrado. A análise revela:
- z = y + 21
- w = y + 35
Para o maior d > 1 que divide os três, usamos que d divide as diferenças:
- z − y = 21 = 3 × 7
- w − y = 35 = 5 × 7
- MDC(21, 35) = 7
Como d > 1 e d | 7 (primo), temos d = 7.
| Critério | Pontos |
|---|---|
| Identificou z = y + 21 | 1 |
| Identificou w = y + 35 | 1 |
| Mostrou por fatoração que d = 7 | 4 |
Item c — Valores possíveis de y (10 pts)
y está na primeira linha (1 ≤ y ≤ 20). Como d = 7 divide y, y deve ser múltiplo de 7 nesse intervalo: y = 7 ou y = 14.
Verificação:
- y = 7: z = 28, w = 42. MDC(7, 28, 42) = 7 ✓
- y = 14: z = 35, w = 49. MDC(14, 35, 49) = 7 ✓
| Critério | Pontos |
|---|---|
| Concluiu que y é múltiplo de 7, com 1 ≤ y ≤ 20 | 3 |
| Analisou y = 7 → z = 28, w = 42 | 3 |
| Analisou y = 14 → z = 35, w = 49 | 3 |
| Concluiu os valores possíveis | 1 |
Questão 3 — Tiras e recortes: geometria com perímetro e área
Esta questão é um exercício clássico de geometria planar com foco em perímetro e área. O enunciado envolve uma figura que é recortada em tiras e pedaços, cada um com dimensões a serem determinadas.
Item a — Perímetro da tira (2 pts)
O primeiro item é o mais direto: identificar as dimensões (largura e comprimento) de uma tira e calcular seu perímetro, somando todos os lados.
O perímetro de um retângulo de largura l e comprimento c é: $$P = 2l + 2c$$
| Critério | Pontos |
|---|---|
| Identificou a largura e o comprimento da tira | 1 |
| Somou os lados e encontrou o perímetro | 1 |
Item b — Área do quadrado (4 pts)
Com o perímetro conhecido, o item b pede que se determine as dimensões específicas das tiras e recortes, e a partir delas, a área de um quadrado relacionado ao problema.
A estratégia:
- Usar o perímetro do item a para estabelecer equações com largura e comprimento.
- Resolver as equações para encontrar os valores exatos.
- Calcular a área do quadrado formado.
| Critério | Pontos |
|---|---|
| Identificou largura e comprimento pelos valores do perímetro | 3 |
| Descobriu a área do quadrado pela lógica estabelecida | 1 |
Item c — Área da figura remontada (6 pts)
O item c trabalha com a remontagem dos recortes em uma nova figura. A figura remontada é formada por um certo número de quadrados dos recortes anteriores.
A estratégia:
- Dividir a figura remontada em quadrados individuais.
- Contar a quantidade de quadrados.
- Calcular a área total da figura remontada.
| Critério | Pontos |
|---|---|
| Dividiu a figura em quadrados e identificou a quantidade | 3 |
| Concluiu a área da figura remontada | 3 |
Item d — Perímetro da figura final (8 pts)
O item mais difícil: conhecendo a área de cada tira e recorte (calculadas anteriormente), determine os lados e depois o perímetro da figura final remontada.
| Critério | Pontos |
|---|---|
| Determinou os lados das tiras/recortes a partir das áreas | 5 |
| Usou os lados para calcular o perímetro | 3 |
Lição desta questão: em problemas de recorte e remontagem, a área se conserva. Use isso para relacionar dimensões desconhecidas através das equações de área.
Questão 5 — Encaixe de peças: provando impossibilidade com xadrez
Esta questão usa um dos argumentos mais elegantes da matemática olímpica: o argumento de coloração. O enunciado envolve um tabuleiro quadriculado que deve ser coberto por peças idênticas em L (ou similar) com 5 quadradinhos cada.
Items a e b — Encaixe possível
Os dois primeiros itens pedem que o estudante encontre e descreva um encaixe válido das peças. A lógica central é evitar “quadrados isolados” — casas que ficam sem vizinho disponível e tornam o encaixe impossível.
| Critério item a | Pontos |
|---|---|
| Posicionou a 2ª peça preenchendo o quadrado solto deixado pela 1ª | 2 |
| Posicionou as peças restantes na única configuração possível | 2 |
| Critério item b | Pontos |
|---|---|
| Posicionou as duas primeiras peças com lógica de quadrados isolados | 3 |
| Completou o tabuleiro com as peças restantes | 3 |
Item c — Prova de impossibilidade (10 pts)
O argumento do tabuleiro de xadrez:
Passo 1 — Contar as peças necessárias. O tabuleiro tem 25 quadradinhos. Cada peça cobre 5. Logo, são necessárias exatamente 5 peças.
Passo 2 — Colorir alternadamente. Pinte o tabuleiro como um xadrez, alternando preto e branco. Um tabuleiro 5×5 pintado assim tem:
- 13 casas de uma cor (a cor dos cantos)
- 12 casas da outra cor
Passo 3 — Analisar cada peça. A peça usada, em qualquer rotação ou inversão possível, sempre cobre 3 casas de uma cor e 2 da outra (ou 2 e 3, dependendo da posição).
Passo 4 — A contradição aritmética. Com 5 peças (número ímpar), a cobertura total de cada cor seria:
- Possibilidade: 5 × 3 = 15 de uma cor e 5 × 2 = 10 da outra
- Impossível obter 13 e 12 com nenhuma combinação de peças que dê soma 13
Portanto, é impossível cobrir o tabuleiro com as peças dadas.
| Critério | Pontos |
|---|---|
| Identificou que são necessárias 5 peças (25 ÷ 5) | 2 |
| Aplicou o argumento de coloração e contou 13 e 12 casas | 3 |
| Analisou que a peça sempre cobre 3 de uma cor e 2 da outra | 3 |
| Concluiu a impossibilidade | 2 |
As ferramentas que aparecem no Nível 2 de 2025
A prova de 2025 usou intensamente três ferramentas:
1. Propriedades de divisores via diferenças
Se d divide vários números, d divide as diferenças entre eles. Na Q2: $$d \mid y, , d \mid z, , d \mid w \implies d \mid (z - y) \text{ e } d \mid (w - y)$$
Isso transforma um problema de MDC de três números em MDC de dois números mais simples.
2. Coloração de tabuleiro
O argumento do xadrez transforma provas geométricas em contas aritméticas simples. Sempre que um problema pedir para cobrir um tabuleiro com peças, pergunte: quantas casas pretas e brancas há? E cada peça cobre quantas de cada cor?
3. Conservação de área em recortes
Ao recortar e remontar figuras, a área total se conserva. Isso cria equações que relacionam as dimensões desconhecidas.
Como pontuar bem na 2ª fase
O Nível 2 de 2025 mostrou que a OBMEP valoriza:
- Argumentos explícitos. Não basta calcular — mostre por que o cálculo funciona (Q2 item b: não é suficiente escrever “d = 7”, é preciso mostrar a fatoração).
- Estrutura lógica clara. Em Q5, a prova de impossibilidade tem uma sequência: contar peças → colorir → analisar a peça → contradição. Pular etapas significa perder pontos.
- Verificação de casos extremos. Em Q2 item c, verificar os dois casos (y = 7 e y = 14) separadamente vale 6 dos 10 pontos disponíveis.
Vídeos originais: canal Só o mi no YouTube. Questão 2: assista aqui. Questão 3: assista aqui. Questão 5: assista aqui.